定年退職の時に、退職金を一時金で貰うのか？年金で貰うのか？選択が迫られますが、退職一時金に対する税制優遇制度があるので、税制的には一時金で貰う方がお得です。そうして貰った一時金を運用しながら取り崩していった時の計算について考察したいと思います。30年エンジニアをやってきた私ならでは、他のブロガーとは異なる切り口で解説したいと思います。以下の式は私が独自に導出したもので、他の計算結果と異なる場合があります。数式には、何の意図もポジショントークもありません。数式は嘘をつきません。ただ真実だけで、信頼できるものです。それでは、考察してみましょう。
まず、毎月の利回りがx%だったとします。kか月後の残高をSkと置き、毎月一定金額A円取り崩したとすると、以下の数列が成り立つことがわかります。
$$S_{k+1}=\left(S_{k}-A\right)\left(1+\frac{x}{100}\right) \cdot\cdot\cdot\cdot\left(1\right)$$(1)式を式変形すると(2)式が成り立ちます。
$$S_{k+1}-\left(1+\frac{100}{x}\right)A=\left(1+\frac{x}{100}\right)\left\{S_{k}-\left(1+\frac{100}{x}\right)A\right\} \cdot\cdot\cdot\cdot\left(2\right)$$(2)式の数列から、(3)式が成り立ちます。ここで、S0は初期投資額を表します。
$$S_{k}-\left(1+\frac{100}{x}\right)A=\left(1+\frac{x}{100}\right)^k\left\{S_{0}-\left(1+\frac{100}{x}\right)A\right\} \cdot\cdot\cdot\cdot\left(3\right)$$よって、kか月後の残高は(4)式であらわされます。
$$S_{k}=\left(1+\frac{x}{100}\right)^kS_{0}+\left\{1-\left(1+\frac{x}{100}\right)^k\right\}\left(1+\frac{100}{x}\right)A \cdot\cdot\cdot\cdot\left(4\right)$$月単位の計算を求めることができました。次にこれを年単位の計算に変換します。 年利α%、n年後の残高を計算するとすると、1年は12カ月なので k=12n、月利x%と年利α%の関係は(5)式であらわすことができます。
$$ 1+\frac{\alpha}{100}=\left(1+\frac{x}{100}\right)^{12} \cdot\cdot\cdot\cdot\left(5\right)$$(5)式よりxを導出すると(6)式が求まります。
$$x=100\left[\exp\left\{\frac{1}{12}\ln\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)\right\}-1\right] \cdot\cdot\cdot\cdot\left(6\right)$$従って、n年後の資産Anは年利α%、初期投資額S0円、毎月A円積み立てとすると(7)式で表現されます。
$$A_{n}=S_{12n}=\left(1+\frac{x}{100}\right)^{12n}S_{0}+\left\{1-\left(1+\frac{x}{100}\right)^{12n}\right\}\left(1+\frac{100}{x}\right)A \cdot\cdot\cdot\cdot\left(7\right)$$(6)式を(7)式に代入すると、式が簡単になり、(8)式で表されます。
$$A_{n}=\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^nS_{0}+\left\{1-\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^n\right\}\left\{1+\frac{1}{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^{\frac{1}{12}}-1}\right\}A \cdot\cdot\cdot\cdot\left(8\right)$$以上で、資産を運用しながら取り崩していった時の計算方法が求まりました。なお、取り崩し金Aに対しては、NISAでの運用以外の場合、運用の利益に対して20.315%の税金、証券会社の取引手数料が引かれるので要注意。
取り崩しのシミュレーションは以下のサイトで確認できます。
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