積立金のその他計算

毎月の積立金のその他計算について
まとめ

毎月の積立金のその他計算について

積立金の計算ロジックを考察できました。そのロジックをもとにその他計算法について数式で明らかにします。以前の考察で、n年後の資産A_nは年利α%、初期投資額S₀円、毎月A円積み立てとすると(1)式で表されます。導出はここを参照ください。

$$A_{n}=\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^nS_{0}+\left\{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^n-1\right\}\left\{1+\frac{1}{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^{\frac{1}{12}}-1}\right\}A　\cdot\cdot\cdot\cdot\left(1\right)$$

毎月の積立金導出

(1)式より、毎月の積立金Aを求めると(2)式が求まります。

$$A=\frac{A_{n}-\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^nS_{0}}{\left\{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^n-1\right\}\left\{1+\frac{1}{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^{\frac{1}{12}}-1}\right\}}　\cdot\cdot\cdot\cdot\left(2\right)$$

初期投資額導出

初期投資額を求めます。(1)式より、初期投資額S₀を求めると(3)式が求まります。

$$S_{0}=\frac{A_{n}-\left\{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^n-1\right\}\left\{1+\frac{1}{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^{\frac{1}{12}}-1}\right\}A}{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^n}　\cdot\cdot\cdot\cdot\left(3\right)$$

積立年数導出

積立年数を導出します。(1)式を展開して式変形すると(4)式が求まり、これをXと置きます。

$$\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^n=\frac{A_{n}+\left\{1+\frac{1}{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^{\frac{1}{12}}-1}\right\}A}{S_{0}+\left\{1+\frac{1}{\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^{\frac{1}{12}}-1}\right\}A}=X　\cdot\cdot\cdot\cdot\left(4\right)$$

両辺をLnでとる積立年数nが求まる。

$$n=\frac{lnX}{ln\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)}　\cdot\cdot\cdot\cdot\left(5\right)$$

投資利回り導出

yを(6)式で置くと、(1)式は(7)式で置ける。

$$y=\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^{\frac{1}{12}}　\cdot\cdot\cdot\cdot\left(6\right)$$ $$A\left(y^{12n}+y^{12n-1}+\cdot\cdot\cdot\cdot+y\right)+\left(1+\frac{\alpha}{100}\right)^nS_{0}-A_{n}=0 \cdot\cdot\cdot\cdot\left(7\right)$$

(7)式より、yの12n次方程式の解を求め、求めた解と(6)式より、年の利回りαが求まる。