ざっくり複利の効果と言われても、ピンとこない人が多いのではないでしょうか？複利の効果がすごいといっても、具体的にどうすごいのか？示すのは中々難しいと思います。エンジニアを何年もやっていた経験から、他のブロガーとは違った切り口で、具体的な数式、数値に基づいて、複利の効果について説明したいと思います。以下の式は私が独自に導出した計算式、近似式です。
年利\(\alpha\%でn年後の複利でお金がy倍となるyを求めると近似で以下の式であらわされる。\) $$y\approx1+n\frac{\alpha}{100}+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{\alpha}{100}\right)^2\qquad\qquad\left(1\right)$$ 但し\(n\frac{\alpha}{100}\ll1とする。\)詳しい計算はここを参照。 年利\(\alpha\%でn年後の単利でお金がy倍となるyを求めると以下の式であらわされる。\) $$y=1+n\frac{\alpha}{100}\qquad\qquad\left(2\right)$$ (1)式、(2)式より、例えば元本がx倍になるまでの期間を単利の場合と複利の場合で、計算してみよう。単利の場合、(2)式=xで求めると、以下の(3)式であらわされる。$$n=\frac{100}{\alpha}(x-1)\qquad\qquad\left(3\right)$$
複利の場合、(1)式=xで求めると、以下の(4)式であらわさる。$$n=\frac{\left\{\left(\frac{\alpha}{100}\right)-2\right\}\pm\sqrt{\left(\frac{\alpha}{100}\right)^2-4\left(\frac{\alpha}{100}\right)-4+8x}}{2\left(\frac{\alpha}{100}\right)}\qquad\qquad\left(4\right)$$ \(\frac{\alpha}{100}\rightarrow0だとすると近似で(5)式で表すことができる。\) $$\left(\frac{\alpha}{100}\right)n\approx-1+\sqrt{2x-1}\qquad\qquad\left(5\right)$$
ここで元本が2倍、x=2の場合で計算してみよう。(3)、(5)式にx=2を代入して求めると、単利の場合はn=100/α、複利の場合はn≒73.2/αとなる。例えば利回り5%とすると、単利の場合は20年、複利の場合は約14.6年となる。利回り5%で複利で運用すると、元本を2倍にするのに単利では20年かかるが、複利では約5年短縮され、15年弱で達成できる。幾つかの利回りで、計算した結果を表1にまとめる。
| 年利 [%] | 単利 [年] | 複利 [年] | 差 [年] |
| 1 | 100.00 | 73.20 | 26.80 |
| 2 | 50.00 | 36.60 | 13.40 |
| 3 | 33.33 | 24.40 | 8.93 |
| 4 | 25.00 | 18.30 | 6.70 |
| 5 | 20.00 | 14.64 | 5.36 |
| 6 | 16.67 | 12.20 | 4.47 |
以上の結果より、獲得した利回りを再投資する複利の効果で、資産を増やすスピードの差が理解できると思います。特に利回りの低い状態では差が大きいのがわかります。投資によって得た利回り、支出の工夫で得た利回りを再投資することで更に資産を増やすスピードを加速することができます。
参考 複利の効果がいつ得られるか考察しました。ここ
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