複利の近似式について説明したいと思います。次のような関数を考えます。
$$y= (1+x)^n \cdot\cdot\cdot\cdot\left(1\right)$$ これを\(x\rightarrow0\)の近似で級数展開すると以下のように表現されます。(テイラー展開と言います。) \[ y\approx1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdot\cdot\cdot\qquad\qquad\left(2\right) \] 年利\(\alpha\%でn年後のお金が複利でy倍となるyを求めると以下の式であらわされる。\) \[ y=(1+\frac{\alpha}{100})^n\qquad\qquad\left(3\right) \] \(\frac{\alpha}{100}\rightarrow0だとすると(2)式より近似式が使えるので、以下の式で表すことができる。\) $$y\approx1+n\frac{\alpha}{100}+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{\alpha}{100}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\left(\frac{\alpha}{100}\right)^3+\cdot\cdot\cdot\qquad\qquad\left(4\right)$$ \(面白いことに(4)式右辺の第一項である1は元本、第二項であるn\frac{\alpha}{100}は単利の効果を表している。\) したがって、第3項以降が、複利の効果を表す数式となる。 \(n\frac{\alpha}{100}\ll1だとすると、3乗以上の項を近似で無視することができる。\) $$y\approx1+n\frac{\alpha}{100}+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{\alpha}{100}\right)^2\qquad\qquad\left(5\right)$$複利の効果 計算
